Schur定理 又称Schur酉三角化：每个复方阵都酉相似于某个上三角矩阵\(T\)，即

\begin{align}
U^{\dagger} A U = T
\end{align}

证明 设\(A_n \in M_n(\mathbb{C})\)，对阶数\(n\)作归纳法：

①当\(n=1\)时，\(A_1\)本身就为上三角矩阵，则取酉矩阵\(U_1=[1]\)时，有

\begin{align}
U^{\dagger}_1 A_1 U_1 = A_1
\end{align}

结论成立。

②当\(n>1\)时，假设结论对\(n-1\)阶矩阵成立。

任取\(A_n\)的一个本征值\(\lambda\)，以及\(\lambda\)对应的单位本征向量\(x_1\)，即

\begin{align}
A_n x_1 = \lambda x_1 \\
|x_1| = 1
\end{align}

将扩充为\(\mathbb{C}^n\)的一个正交归一基\(\{x_n\}\)，需要注意，这里的\(x_2,x_3,...,x_n\)未必是\(A_n\)的本征向量。

令\(n\)阶矩阵\(U_n=[x_1,x_2,...,x_n]\)，易知\(U_n\)是酉矩阵。

则作如下运算

\begin{align}
U^{\dagger}_n A_n U_n =&
\begin{bmatrix}
x_1^{\dagger} \\
x_2^{\dagger} \\
\vdots \\
x_n^{\dagger} \\
\end{bmatrix}
A_n
\begin{bmatrix}
x_1 & x_2 & \cdots & x_n
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x_1^{\dagger} \\
x_2^{\dagger} \\
\vdots \\
x_n^{\dagger} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
A_n x_1 & A_n x_2 & \cdots & A_n x_n
\end{bmatrix} \\
=&
\begin{bmatrix}
x_1^{\dagger} \color{red}{A_n x_1} & x_1^{\dagger} A_n x_2 & \cdots & x_1^{\dagger} A_n x_n \\
x_2^{\dagger} \color{red}{A_n x_1} & x_2^{\dagger} A_n x_2 & \cdots & x_2^{\dagger} A_n x_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
x_n^{\dagger} \color{red}{A_n x_1} & x_n^{\dagger} A_n x_2 & \cdots & x_n^{\dagger} A_n x_n \\
\end{bmatrix} \\
=&
\begin{bmatrix}
x_1^{\dagger} \color{red}{\lambda x_1} & x_1^{\dagger} A_n x_2 & \cdots & x_1^{\dagger} A_n x_n \\
x_2^{\dagger} \color{red}{\lambda x_1} & x_2^{\dagger} A_n x_2 & \cdots & x_2^{\dagger} A_n x_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
x_n^{\dagger} \color{red}{\lambda x_1} & x_n^{\dagger} A_n x_2 & \cdots & x_n^{\dagger} A_n x_n \\
\end{bmatrix}
\text{{（仅有第一列能作本征方程运算）}} \\
=&
\begin{bmatrix}
\color{red}{\lambda} x_1^{\dagger} \color{red}{x_1} & x_1^{\dagger} A_n x_2 & \cdots & x_1^{\dagger} A_n x_n \\
\color{red}{\lambda} x_2^{\dagger} \color{red}{x_1} & x_2^{\dagger} A_n x_2 & \cdots & x_2^{\dagger} A_n x_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\color{red}{\lambda} x_n^{\dagger} \color{red}{x_1} & x_n^{\dagger} A_n x_2 & \cdots & x_n^{\dagger} A_n x_n \\
\end{bmatrix} \\
=&
\begin{bmatrix}
\color{red}{\lambda} & x_1^{\dagger} A_n x_2 & \cdots & x_1^{\dagger} A_n x_n \\
\color{red}{0} & x_2^{\dagger} A_n x_2 & \cdots & x_2^{\dagger} A_n x_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\color{red}{0} & x_n^{\dagger} A_n x_2 & \cdots & x_n^{\dagger} A_n x_n \\
\end{bmatrix}
\text{{（正交归一性）}}
\end{align}

将结果矩阵分块，左上区域为1阶矩阵\([\lambda]\)，左下区域为\(n-1\)行的零矩阵，右上区域令为\(y^*\in M_{1,n-1}(\mathbb{C})\)，右下区域是个\(n-1\)阶矩阵，令为\(A_{n-1}\in M_{n-1}(\mathbb{C})\)，

则有

\begin{align}
U^{\dagger}_n A_n U_n =
\begin{bmatrix}
\lambda & y^* \\
0 & A_{n-1}
\end{bmatrix}
\tag{1} \label{eq:Un}
\end{align}

可见结果已与上三角矩阵接近——左下部分已全为0元素。现在只需要将右下角转化为上三角矩阵，则可以证明定理。

根据我们的假设，\(A_{n-1}\)作为\(n-1\)阶矩阵，对Schur定理成立，即存在酉矩阵\(U_{n-1}\)使得

\begin{align}
U^{\dagger}_{n-1} A_{n-1} U_{n-1} = T_{n-1}
\end{align}

也就是说，如果我们能够构造1个酉矩阵，使得式(\(\ref{eq:Un}\))分块矩阵右下角的\(A_{n-1}\)进行一次酉三角化，就能够证明定理。

现构造一个新矩阵\(\tilde{U} = diag(1,U_{n-1})\in M_n(\mathbb{C}) \)，

\begin{align}
\tilde{U} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & U_{n-1}
\end{bmatrix}
\end{align}

易知其为酉矩阵。

在式(\(\ref{eq:Un}\))两边，各右乘矩阵\(\tilde{U}\)，并各左乘矩阵\(\tilde{U}^{\dagger}\)

\begin{align}
\tilde{U}^{\dagger} U^{\dagger}_n A_n U_n \tilde{U} =&
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & U_{n-1}
\end{bmatrix}^{\dagger}
\begin{bmatrix}
\lambda & y^* \\
0 & A_{n-1}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & U_{n-1}
\end{bmatrix} \\
=&
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & U_{n-1}^{\dagger}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\lambda & y^*U_{n-1} \\
0 & A_{n-1}U_{n-1}
\end{bmatrix} \\
=&
\begin{bmatrix}
\lambda & y^*U_{n-1} \\
0 & U_{n-1}^{\dagger}A_{n-1}U_{n-1}
\end{bmatrix}
\tag{2} \label{eq:UUn}
\end{align}

观察式(\(\ref{eq:UUn}\))，等式右边是个上三角矩阵，左边的\(U_n \tilde{U}\in M_n(\mathbb{C})\)是一个酉矩阵（\(U_n\)、\(\tilde{U}\)均为酉矩阵，\((U_n \tilde{U})^{\dagger} U_n\tilde{U}=\tilde{U}^{\dagger}U_n^{\dagger}U_n\tilde{U}=\tilde{U}^{\dagger}\tilde{U} = I_n\)，即\(U_n \tilde{U}\)也是一个酉矩阵）。

此时，已构造出\(U\)并对\(A\)进行了酉三角化，Schur定理证明完毕。

参考资料：

《矩阵论》詹兴致