前言

什么是物理？什么是科学？现代的科学理论一定是真理？要知道，我们所看、所感、所想，都是有偏差的。简单来讲，我们所看到的一切，都是三维世界投影在二维层面（视网膜），再经过大脑处理所模拟近似得到的“伪三维图像”；我们所感受到的，同样是经过细胞接受、发送信号到大脑后所模拟的。这样，我们所看和所感的东西都不是“一手”的，是有偏差的。在此基础上的所想（思考和理论），都是有偏差的。而正是因为这种关系，我们的理论永远不会成为真理，只能无限接近真理（狭义的真理）。
为什么我们看不懂量子力学？看不懂微观物理？我们从小就生活在宏观的世界中，从小就一直接触宏观世界。踢球，球的运动；冲水，水流的运动，我们从小就接触着宏观运动，因此，我们在学习和研究宏观运动时，就有了参照对象，有参数能依附的对象。我们能够依靠这样经常接触到的对象，去想象、去理解诸如速度、动量、密度等等这样数学抽象的参数、概念；同时，我们熟悉并理解宏观中的运动状态、规律和方程，因为我们生活在宏观世界中，我们打心底就已经认定这些东西是“真理”、符合直觉、正确的。
但是对于微观世界，微观世界本身就与宏观世界（或者说，在我们大脑中模拟的宏观世界）不同，我们无法拿宏观的任何我们熟知的东西，去承载微观运动所解析出的、数学上抽象的概念。此时，没有了我们熟知的东西做参照，我们很难去理解微观上各种数学抽象的概念。实际上，就算是最厉害的物理学家，也难以准确、清晰的用我们熟悉的宏观思维去理解微观的概念，因为谁也没有在微观世界一探究竟过。那更何况我们呢？我想说的是，这是一个全新的世界，我们不要强行让自己去拿宏观的东西套进这些数学上抽象的概念之中，这是无用功；我们要放开心胸，去接受它，如此才能与创建这些理论的物理学家们共鸣。试着去接受，而不是去理解。

一些知识

欧拉公式\begin{equation*}    e^{ix}=\cos x+i\sin x\end{equation*}简单理解为把三角函数与复指数函数相联系的一个公式。
复数的膜的平方\begin{equation*}    |z|^2=z\times z^*\end{equation*}
不确定性原理
一个微观粒子的某些物理量,如位置和动量，还有时间和能量等，不可能同时具有确定的数值，其中一个量越确定，另一个量的不确定程度就越大。
德布罗意假设
实物粒子也应该具有波动性，与实物粒子相联系的波称为德布罗意物质波。

正文

由于不确定性原理，我们无法从经典物理的角度，去描述和理解微观粒子的运动状态（如同时确定位置和速度、利用$\vec{F}=m\vec{a}$确定运动方程等等）。
1925年，薛定谔首先在德布罗意假说的基础上提出，用物质波的波函数来描述微观粒子运动状态，就像用电磁波描述光子运动一样（光子也有波粒二象性）,即
波函数$\Longrightarrow$         微观粒子的运动状态
薛定谔方程$\Longrightarrow$       描述微观粒子运动基本方程

一维空间中粒子的波函数

波函数 用某种函数表达式来表述与微观粒子相联系的物质波（德布罗意波），该函数表达式称为物质波的波函数。
为了找到描述粒子的波函数，我们先来简化条件，分析粒子的行为。
设一粒子为自由粒子，即它不受外力作用，这样它就作匀速直线运动（设沿$x$轴运动），由于不受外力，它的能量$E$、动量$P$均为常量

此时，作如下分析：
根据粒子的波粒二象性（德布罗意假设）\begin{equation*}    \nu=\frac{E}{h} \qquad \lambda=\frac{h}{p}\end{equation*}其频率$\nu$波长$\lambda$均为常量，即单色波
根据不确定原理\begin{equation*}    \Delta p=0 \ \Rightarrow \  \Delta x \rightarrow \infty\end{equation*}\begin{equation*}    \Delta E=0 \ \Rightarrow \  \Delta t \rightarrow \infty\end{equation*}$\Delta x \rightarrow \infty$体现了波沿整个x轴传播；$\Delta t \rightarrow \infty$体现了波列长为无限长。
由此得出结论,自由粒子的德布罗意波是单色平面波。
因此，要描述出自由粒子的波函数，可以类比我们更熟悉的单色平面机械波的波动方程\begin{equation*}    y(x,t)=A\cos{2\pi (\nu t – \frac{x}{\lambda})}\end{equation*}由欧拉公式，作变换后\begin{equation*}    y(x,t)=Ae^{-i2\pi (\nu t – \frac{x}{\lambda})}\end{equation*}且有波的强度$I$正比与振幅$A$\begin{equation*}    I \propto A^2 = |y|^2 =y\times y^*\end{equation*}对于粒子的波函数，我们用$\varPsi$表示,则有\begin{equation*}    \varPsi(x,t)=\varPsi_0 e^{-i2\pi (\nu t – \frac{x}{\lambda})}\end{equation*}对于粒子，根据德布罗意假说,有\begin{equation*}    \nu=\frac{E}{h} \qquad \lambda=\frac{h}{p}\end{equation*}故简化为式（0）\begin{equation}    \varPsi(x,t)=\varPsi_0 e^{-\frac{i}{\hbar} (Et – px)} \label{1}\end{equation}
这样我们得到了一维自由粒子的波函数表达式，下面我们来进行“求解”：

波函数对$t$求偏导，得式（1）\begin{equation}    \frac{\partial{\varPsi(x,t)}}{\partial t}=-\frac{iE}{\hbar}\varPsi_0 e^{-\frac{i}{\hbar} (Et – px)}=-\frac{iE}{\hbar}\varPsi(x,t)\label{2}\end{equation}波函数对$x$求二阶偏导，得式（2）\begin{equation}    \frac{\partial^2\varPsi(x,t)}{\partial x^2}=-\frac{p^2}{\hbar^2}\varPsi_0 e^{-\frac{i}{\hbar} (Et – px)}=-\frac{p^2}{\hbar^2}\varPsi(x,t) \label{3}\end{equation}式（1）$\times i\hbar$得式（3）\begin{equation}    i\hbar\frac{\partial{\varPsi(x,t)}}{\partial t}=E\varPsi(x,t)\label{4}\end{equation}式2$\times -\frac{\hbar^2}{2m}$得式（4）\begin{equation}    -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\varPsi(x,t)}{\partial x^2}=\frac{p^2}{2m}\varPsi(x,t) \label{5}\end{equation}式（4）$-$ 式（3）得\begin{equation}    -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\varPsi(x,t)}{\partial x^2}+(E-\frac{p^2}{2m})\varPsi(x,t)=i\hbar\frac{\partial{\varPsi(x,t)}}{\partial t} \label{6}\end{equation}其中$E=E_k+E_p$,则式子可以表示为式（5）\begin{equation}    -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\varPsi(x,t)}{\partial x^2}+(E_k+E_p-\frac{p^2}{2m})\varPsi(x,t)=i\hbar\frac{\partial{\varPsi(x,t)}}{\partial t} \label{7}\end{equation} 由于是自由粒子，即无势能，$E_p$=0；当$v\ll c$，即不考虑相对论效应，$E_k=\frac{p^2}{2m}$故式子简化为式（6）\begin{equation}    -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\varPsi(x,t)}{\partial x^2}=i\hbar\frac{\partial{\varPsi(x,t)}}{\partial t} \label{8}\end{equation}
一维自由粒子含时薛定谔方程。
自由粒子不考虑势能，若粒子在势场中（即粒子不自由），则有势能$E_p$，同样不考虑相对论效应，式子（5）就简化为\begin{equation}    -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\varPsi(x,t)}{\partial x^2}+E_p\varPsi(x,t)=i\hbar\frac{\partial{\varPsi(x,t)}}{\partial t} \label{9}\end{equation}
此即一维运动粒子含时薛定谔方程。
势能$E_p$，表示势能是时间的函数$E_p(x,t)$，不同时刻，势能有相应的值。假设粒子的势能$E_p(x)$与时间$t$无关，仅是坐标的函数，则有式（6）\begin{equation}    -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\varPsi(x,t)}{\partial x^2}+E_p(x)\varPsi(x,t)=i\hbar\frac{\partial{\varPsi(x,t)}}{\partial t} \label{10}\end{equation} 将$\varPsi(x,t)$进行分离变量，可以找到两个函数$\psi(x)$，$\varPhi(t)$，满足\begin{equation*}    \varPsi(x,t)=\psi(x)\varPhi(t) \end{equation*}

（理论上$\psi$、$\varPhi$符号可以任取。$\varPhi(t)$又称为含时因子；对于自由粒子，或是$E_p(x,t)$下的粒子，均可作分离变量，只是意义不大，此处分离用于以下的计算）

则有\begin{equation*}    \frac{\partial{\varPsi(x,t)}}{\partial t}=\psi(x)\frac{\mathrm{d}\varPhi(t)}{\mathrm{d}t}\end{equation*}\begin{equation*}    \frac{\partial^2\varPsi(x,t)}{\partial x^2}=\varPhi(t)\frac{\mathrm{d}^2\psi(x)}{\mathrm{d}x^2}\end{equation*}代入式（6）得\begin{equation}    -\frac{\hbar^2}{2m}\varPhi(t)\frac{\mathrm{d}^2\psi(x)}{\mathrm{d} x^2}+E_p(x)\psi(x)\varPhi(t)=i\hbar\psi(x)\frac{\mathrm{d}{\varPhi(t)}}{\mathrm{d} t} \label{11}\end{equation}将$\psi(x)$，$\varPhi(t)$移到式子两边，得\begin{equation}    \frac{1}{\psi(x)}[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2\psi(x)}{\mathrm{d} x^2}+E_p(x)\psi(x)]=\frac{1}{\varPhi(t)}i\hbar\frac{\mathrm{d}{\varPhi(t)}}{\mathrm{d} t} \label{12}\end{equation}观察这个式子，等式两边分别是$x$得函数和$t$的函数，但是两边相等，故只有一种情况，即两边都等于一个常数，令常数为$E$，则有式（7）和式（8）\begin{equation}    \frac{1}{\varPhi(t)}i\hbar\frac{\mathrm{d}{\varPhi(t)}}{\mathrm{d} t}=E \label{13}\end{equation} \begin{equation}    \frac{1}{\psi(x)}[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2\psi(x)}{\mathrm{d} x^2}+E_p(x)\psi(x)]=E \label{14}\end{equation}对于式（7），其可解（一阶微分方程），解得\begin{equation}    \varPhi(t)=e^{-i\frac{E}{\hbar}} \label{15}\end{equation} 其中，指数应是无量纲的数（否则该量纲无意义），$h$的单位是$J\cdot s$，故$E$的单位只能是能量。实际上$E$是粒子的总能量。

对于式（8），变形可得\begin{equation}    \frac{\mathrm{d}^2\psi(x)}{\mathrm{d} x^2}+\frac{2m}{\hbar^2}(E-E_p(x))\psi(x)=0 \label{16}\end{equation}

此即一维定态薛定谔方程。

三维空间中粒子的波函数

对于三维空间，粒子的波函数可由式（0）拓展写为式（9）\begin{equation}    \varPsi(x,y,z,t)=\varPsi_0 e^{-\frac{i}{\hbar} (Et – p_xx-p_yy-p_zz)} \label{18}\end{equation}画出三维空间坐标图，根据图解，我们容易得到\begin{equation*}    \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\end{equation*}\begin{equation*}    \vec{p}=p_x\vec{i}+p_y\vec{j}+p_z\vec{k}\end{equation*}故可知，有\begin{equation*}    \vec{p}\cdot \vec{r}=p_xx+p_yy+p_zz\end{equation*}代入式（9）中，就得到了三维自由粒子波函数更广泛的表达形式\begin{equation}    \varPsi(\vec{r},t)=\varPsi_0 e^{-\frac{i}{\hbar} (Et – \vec{p}\cdot \vec{r})} \label{19}\end{equation}类比于式（2）的操作，加入如下操作\begin{equation}    \frac{\partial^2\varPsi(\vec{r},t)}{\partial y^2}=-\frac{p_y^2}{\hbar^2}\varPsi_0 e^{-\frac{i}{\hbar} (Et – \vec{p}\cdot \vec{r})}=-\frac{p_y^2}{\hbar^2}\varPsi(\vec{r},t) \label{20}\end{equation}\begin{equation}    \frac{\partial^2\varPsi(\vec{r},t)}{\partial z^2}=-\frac{p_z^2}{\hbar^2}\varPsi_0 e^{-\frac{i}{\hbar} (Et – \vec{p}\cdot \vec{r})}=-\frac{p_z^2}{\hbar^2}\varPsi(\vec{r},t) \label{21}\end{equation}这两个等式与对$x$求二阶偏导得到的等式相加，得\begin{align}    \frac{\partial^2\varPsi(\vec{r},t)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\varPsi(\vec{r},t)}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\varPsi(\vec{r},t)}{\partial z^2}  \notag \\    =-\frac{p_x^2+p_y^2+p_z^2}{\hbar^2}\varPsi_0 e^{-\frac{i}{\hbar} (Et – \vec{p}\cdot \vec{r})}  \notag \\    =-\frac{p^2}{\hbar^2}\varPsi(\vec{r},t)  \notag\end{align}继续操作后，得到\begin{equation*}    -\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2})\varPsi(\vec{r},t)+(E_k+E_p-\frac{p^2}{2m})\varPsi(\vec{r},t)=i\hbar\frac{\partial{\varPsi(\vec{r},t)}}{\partial t}\end{equation*} 在数学上，有劈形算符$\nabla$和拉普拉斯算符$\nabla^2$\begin{equation*}    \nabla=\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}+\frac{\partial}{\partial z}\end{equation*}\begin{equation*}    \nabla^2=\nabla\cdot\nabla=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\end{equation*}故可简化为\begin{equation}    -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\varPsi(\vec{r},t)+(E_k+E_p-\frac{p^2}{2m})\varPsi(\vec{r},t)=i\hbar\frac{\partial{\varPsi(\vec{r},t)}}{\partial t} \label{22}\end{equation} 同理，将一维空间中粒子各波函数的方程拓展到三维的一般情况\begin{equation}    -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\varPsi(\vec{r},t)}{\partial x^2}=i\hbar\frac{\partial{\varPsi(\vec{r},t)}}{\partial t} \label{23}\end{equation}
此即三维自由粒子含时薛定谔方程。\begin{equation}    -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\varPsi(\vec{r},t)}{\partial x^2}+E_p\varPsi(\vec{r},t)=i\hbar\frac{\partial{\varPsi(\vec{r},t)}}{\partial t} \label{24}\end{equation}
此即三维运动粒子含时薛定谔方程。\begin{equation}    \nabla^2\varPsi(\vec{r}+\frac{2m}{\hbar^2}(E-E_p(\vec{r}))\psi(\vec{r})=0 \label{25}\end{equation}
此即三维定态薛定谔方程。
取哈密顿算符$\hat{H}\ $($E_p=U$)\begin{equation*}    \hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U\end{equation*}
故三维定态薛定谔方程可以表示为\begin{equation}    \hat{H}\varPsi(\vec{r})=E\varPsi(\vec{r}) \label{26}\end{equation} 

波函数的统计意义

波恩经过实验总结出波函数的统计解释：$t$时刻粒子出现在空间某点$r$附近体积元$\mathrm{d}V$中的概率，与波函数模的平方及$\mathrm{d}V$成正比。
出现在$\mathrm{d}V$内概率\begin{equation*}    \mathrm{d}W=|\varPsi(\vec{r},t)|^2\mathrm{d}V=\varPsi\varPsi^*\mathrm{d}V\end{equation*}
$t$时刻，粒子在空间$r$处的单位体积中出现的概率，称为概率密度$w$\begin{equation*}    w=\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}V}=|\varPsi(\vec{r},t)|^2=\varPsi\varPsi^*\end{equation*}
波函数本身无直观物理意义，只有模的平方反映粒子出现的概率，在这一点上不同于机械波，电磁波。
此时我们再回看定态波函数\begin{equation*}    \varPsi(\vec{r},t)=\psi(\vec{r})\varPhi(t)=\psi(\vec{r})e^{-i\frac{E}{\hbar}}\end{equation*}它的概率密度为\begin{equation*}    w=|\varPsi(\vec{r},t)|^2=\psi(\vec{r})e^{-i\frac{E}{\hbar}}\cdot \psi^*(\vec{r})e^{i\frac{E}{\hbar}}=\psi(\vec{r})\cdot\psi^*(\vec{r})=|\psi(\vec{r})|^2\end{equation*}这表明，粒子在空间各处出现的概率不随时间变化。
这样，便给出了定态的具体概念：若粒子的势能$E$与$t$无关，仅是坐标的函数，微观粒子在各处出现的概率与时间无关。这里的定态概念与波尔的定义有区别。

后记

薛定谔方程的解释大致就是这些，个人理解，有错误请谅解并指出。
我们可以看出，在薛定谔方程上，它的建立并不是像宏观物理学一样，通过实验总结规律，而是通过数学上（波函数），根据条件约束，或是自己设定条件，一步步推导出来的，再经过实验进行验证和意义探索，这也注定了其抽象性。而对于这种看似“并不是真理”的理论，我很喜欢一位教授说的话：物理理论的一个基本原则，就是如果这辆车没有坏，不要去修它，否则越修越麻烦。