线性代数:厄米特矩阵、酉矩阵
本文最后更新于 1448 天前,其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。

(LaTex用得太累了,但是笔者毕竟是个废物,也只会LaTex的皮毛,其他啥也不会)

这篇文章主要讲的是笔者上上周刚学的两个复数域下的矩阵:厄米特矩阵和酉矩阵。

想必大家高中都已经学过了复数,再补充一个极坐标形式的复数后,我们就直接进入正题吧!

极坐标形式(polar form):$$z=re^{i\theta}=r(cos\theta+isin\theta)$$ 其满足$z_1·z_2=r_1r_2e^{i(\alpha+\theta)}$ , $\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\alpha-\theta)}$ .这都是一些非常好的性质。

厄米特矩阵(Hermitian matrix):

即自共轭矩阵,共轭转置等于自身。矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的共轭相等。厄米特特矩阵主对角线上的元素都是实数的,其特征值也是实数。(可类比为实对称矩阵)

共轭转置(conjugate transpose)操作,可类比为实矩阵的转置操作(对实矩阵来说,转置和厄米共轭操作是相同的),同样有如下性质:

$(AB)^H=B^HA^H$ ;$(A^H)^H=A$ ;$(A+B)^H=A^H+B^H$

厄米特矩阵的性质:

① $A^H=A$ :这条性质要求厄米特矩阵的主对角元必须为实数;

② 对厄米特矩阵A和复向量x,数$x^HAx$必为实数;

证:$$(x^HAx)^H=x^HA(x^H)^H=X^HAx$$ 即$x^HAx$等于它自身的共轭,故$x^HAx$必是实数.

③ 厄米特矩阵的特征值是实数;

证:法一:设Ax=$\lambda$x (x≠0),则有$$x^HAx=x^H\lambda x=\lambda x^Hx=\lambda\begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix}^2$$由性质①可知$x^HAx$必为实数,并且由于x≠0,$\begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix}^2$必为正实数,所以,特征值$\lambda=\frac{x^Hx}{\begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix}^2}$必为实数.

法二:设Ax=$\lambda$x (x≠0),$\overline \lambda x^Hx=(\lambda x)^Hx=(Ax)^Hx=x^HA^Hx=x^HAx=x^H\lambda x=\lambda x^Hx$ ,所以,我们有$\overline \lambda$,故$\lambda$必为实数.

④ 厄米特矩阵A的属于不同特征值的特征向量是正交的(实对称矩阵也同样满足);

证:设$x_1, x_2$是分别对应于特征值$\lambda_1 , \lambda_2$的A的特征向量,则$$Ax_1=\lambda_1 x_1 , Ax_2=\lambda_2 x_2$$ 因此,$$\lambda_1 x_1^Hx_2=(\lambda_1 x_1)^Hx_2=(Ax_1)^Hx_2=x_1^HA^Hx_2=x_1^HAx_2=x_1^H\lambda_2 x_2=\lambda_2 x_1^Hx_2$$ 又因为$\lambda_1=\lambda_2$,所以我们有$x_1^Hx_2=0$,它们是正交的.

酉矩阵(幺正矩阵,unitary matrix):

可类比于实正交矩阵,满足厄米共轭矩阵等于逆阵,即$U^H=U^{-1}$,等价有$U^HU=I , UU^H=I$

酉矩阵的性质:

① 内积和向量长度可被酉矩阵保留?(这段话不知如何翻译,意思可看证明过程);

证:$(Ux)^H(Uy)=x^HU^HUy=x^Hy$ 故同理有 $\begin{Vmatrix}U\end{Vmatrix}^2=\begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix}^2$

② 酉矩阵的特征值的绝对值等于1;

证:设$Ux=\lambda x$,则$\begin{Vmatrix}Ux\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}\lambda x\end{Vmatrix}=\begin{vmatrix}\lambda\end{vmatrix} \begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix}$ 由性质①我们有,$\begin{Vmatrix}Ux\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix}^2$,所以$\begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix}=\begin{vmatrix}\lambda\end{vmatrix}·\begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix}$,故$\begin{vmatrix}\lambda\end{vmatrix}=1$

③ 酉矩阵U的属于不同特征值的特征向量是正交的。

证:

后面有空再补了

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