线代题目
本文最后更新于 1431 天前,其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。

最近遇到一些比较重要的运算技巧:

(1) 设A和B分别是m×n和n×m矩阵,证明:$$\lambda ^n det(\lambda I_m -AB) = \lambda ^m det(\lambda I_n -BA)$$
(2) 对于任意矩阵$A_{m×n}$和$B_{n×m}$ ,证明:AB与BA的非零特征值均相同。特别地,当m = n 时,证明:AB和BA的特征值完全相同。

(3)对于n×n方阵A和B,AB和BA有相同的特征值。

答案

(1) 构造:$$\begin{bmatrix} \begin{matrix} I_m & 0 \\ -B & I_n\end{matrix}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \begin{matrix} I_m & A \\ B & I_n\end{matrix}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \begin{matrix} I_m & A \\ 0 & I_n-BA\end{matrix}\end{bmatrix}$$ 以及 $$\begin{bmatrix} \begin{matrix} I_m & A \\ B & I_n\end{matrix}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \begin{matrix} I_m & 0 \\ -B & I_n\end{matrix}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \begin{matrix} I_m-AB & A \\ 0 & I_n\end{matrix}\end{bmatrix}$$两条式子两边分别取行列式得:$$det(I_m -AB) = det(I_n -BA)$$ 当$\lambda\neq 0$时,$$det(\lambda I_m -AB) =\lambda ^m det(I_m-\frac{1}{\lambda}AB)=\lambda ^m det(I_n- \frac{1}{\lambda}BA)=\lambda ^{m-n} det(\lambda I_n- BA)$$ 故 $$\lambda ^ndet(\lambda I_m -AB) =\lambda ^m det(\lambda I_n- BA)$$ 当$\lambda = 0$时,等式显然成立.

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