笔者是今年9月份开始的大学生活，也是从9月份开始线性代数（下称“线代”）的学习。在线代中，有许多新鲜的定义和运算，所以与高等数学相比，笔者觉得线代更难学得通透。因此，笔者希望通过该篇以及后续文章来梳理下线代中的知识。

笔者所用的线代教材是Gilbert Strang 所编写的Linear Algebra and its Application (the 4th edition) ，在B站上也有他的相关教学视频https://www.bilibili.com/video/BV134411y7uH?from=search&seid=2698493779032149614

好，接下来我们开始线代的学习。初入线代，不同于同济紫本从行列式开始（刚看同济书的时候头都大了），我们先从矩阵与高斯消元法讲起。

线代的中心问题就是如何求解线性方程组，因此我们有必要了解什么是线性方程和线性方程组，以及其中的专有名词。

线性方程（linear equation）：

正如其名，线性方程（linear equation）就是形如$$a_1x_1+a_2x_2+…+a_nx_n=b$$的方程。其中，$a_i$是系数（coefficient），$x_i$是变量（variable，或称未知数unknown），$b$是常数（constant）。

由此，我们可以有线性方程组（system of linear equations ），即多个线性方程方程所构成的方程组，其解取决于系数与常数项！于是，为了简便美化写法，我们便引入了矩阵来表示线性方程组。

矩阵记号（matrix notation）：

系数矩阵（coefficient matrix）：\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}

增广矩阵（augmented matrix）：\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & b_2 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} & b_m \end{bmatrix}

高斯消元法（Guassian elimination）：

是通过初等行变换（Elementary row operation, ERO）来将矩阵转化为上三角矩阵（upper triangular matrix）或行阶梯形矩阵（row echelon form matrix），进而通过回代求解线性方程组的方法。

1、对换（interchange）：交换任意两行；

2、倍乘（scaling）：用非零实数乘以某行；

3、倍加（replacement）：将某个方程的倍数加到另一个方程上。

经过ERO处理前后的矩阵行等价（row equivalent），故ERO可逆。

回代（back- substitution）:矩阵化为上三角阵或行阶梯形后，从最后一个未知数开始由尾至头逐步代回，得出解的过程。

相容（consistent）：方程组有解：①唯一解；②无穷多解。

不相容（inconsistent）：方程组无解。

总结：

高斯消元法实际上是个很简单的过程：

原线性方程组→高斯消元（行变换）→三角矩阵→回代→得出解

（去你妈的LaTex）