（LaTex用得太累了，但是笔者毕竟是个废物，也只会LaTex的皮毛，其他啥也不会）
这篇文章主要讲的是笔者上上周刚学的两个复数域下的矩阵：厄米特矩阵和酉矩阵。
想必大家高中都已经学过了复数，再补充一个极坐标形式的复数后，我们就直接进入正题吧！
极坐标形式（polar form）：$$z=re^{i\theta}=r(cos\theta+isin\theta)$$ 其满足$z_1·z_2=r_1r_2e^{i(\alpha+\theta)}$ , $\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\alpha-\theta)}$ .这都是一些非常好的性质。
厄米特矩阵（Hermitian matrix）：
即自共轭矩阵，共轭转置等于自身。矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的共轭相等。厄米特特矩阵主对角线上的元素都是实数的，其特征值也是实数。（可类比为实对称矩阵）
共轭转置（conjugate transpose）操作，可类比为实矩阵的转置操作（对实矩阵来说，转置和厄米共轭操作是相同的），同样有如下性质：
$(AB)^H=B^HA^H$ ；$(A^H)^H=A$ ；$(A+B)^H=A^H+B^H$
厄米特矩阵的性质：
① $A^H=A$ ：这条性质要求厄米特矩阵的主对角元必须为实数；
② 对厄米特矩阵A和复向量x，数$x^HAx$必为实数;
证：$$(x^HAx)^H=x^HA(x^H)^H=X^HAx$$ 即$x^HAx$等于它自身的共轭，故$x^HAx$必是实数.
③ 厄米特矩阵的特征值是实数；
证：法一：设Ax=$\lambda$x (x≠0)，则有$$x^HAx=x^H\lambda x=\lambda x^Hx=\lambda\begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix}^2$$由性质①可知$x^HAx$必为实数，并且由于x≠0，$\begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix}^2$必为正实数，所以，特征值$\lambda=\frac{x^Hx}{\begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix}^2}$必为实数.
法二：设Ax=$\lambda$x (x≠0)，$\overline \lambda x^Hx=(\lambda x)^Hx=(Ax)^Hx=x^HA^Hx=x^HAx=x^H\lambda x=\lambda x^Hx$ ，所以，我们有$\overline \lambda$，故$\lambda$必为实数.
④ 厄米特矩阵A的属于不同特征值的特征向量是正交的（实对称矩阵也同样满足）；
证：设$x_1, x_2$是分别对应于特征值$\lambda_1 , \lambda_2$的A的特征向量，则$$Ax_1=\lambda_1 x_1 , Ax_2=\lambda_2 x_2$$ 因此，$$\lambda_1 x_1^Hx_2=(\lambda_1 x_1)^Hx_2=(Ax_1)^Hx_2=x_1^HA^Hx_2=x_1^HAx_2=x_1^H\lambda_2 x_2=\lambda_2 x_1^Hx_2$$ 又因为$\lambda_1=\lambda_2$，所以我们有$x_1^Hx_2=0$，它们是正交的.
酉矩阵（幺正矩阵，unitary matrix）：
可类比于实正交矩阵，满足厄米共轭矩阵等于逆阵，即$U^H=U^{-1}$，等价有$U^HU=I , UU^H=I$
酉矩阵的性质：
① 内积和向量长度可被酉矩阵保留？（这段话不知如何翻译，意思可看证明过程）；
证：$(Ux)^H(Uy)=x^HU^HUy=x^Hy$ 故同理有 $\begin{Vmatrix}U\end{Vmatrix}^2=\begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix}^2$
② 酉矩阵的特征值的绝对值等于1；
证：设$Ux=\lambda x$,则$\begin{Vmatrix}Ux\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}\lambda x\end{Vmatrix}=\begin{vmatrix}\lambda\end{vmatrix} \begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix}$ 由性质①我们有，$\begin{Vmatrix}Ux\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix}^2$，所以$\begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix}=\begin{vmatrix}\lambda\end{vmatrix}·\begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix}$，故$\begin{vmatrix}\lambda\end{vmatrix}=1$
③ 酉矩阵U的属于不同特征值的特征向量是正交的。
证：
后面有空再补了
