最近遇到一些比较重要的运算技巧：

(1) 设A和B分别是m×n和n×m矩阵，证明：$$\lambda ^n det(\lambda I_m -AB) = \lambda ^m det(\lambda I_n -BA)$$
(2) 对于任意矩阵$A_{m×n}$和$B_{n×m}$ ，证明：AB与BA的非零特征值均相同。特别地，当m = n 时，证明：AB和BA的特征值完全相同。

(3)对于n×n方阵A和B，AB和BA有相同的特征值。

答案

(1) 构造：$$\begin{bmatrix} \begin{matrix} I_m & 0 \\ -B & I_n\end{matrix}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \begin{matrix} I_m & A \\ B & I_n\end{matrix}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \begin{matrix} I_m & A \\ 0 & I_n-BA\end{matrix}\end{bmatrix}$$ 以及 $$\begin{bmatrix} \begin{matrix} I_m & A \\ B & I_n\end{matrix}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \begin{matrix} I_m & 0 \\ -B & I_n\end{matrix}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \begin{matrix} I_m-AB & A \\ 0 & I_n\end{matrix}\end{bmatrix}$$两条式子两边分别取行列式得：$$det(I_m -AB) = det(I_n -BA)$$ 当$\lambda\neq 0$时，$$det(\lambda I_m -AB) =\lambda ^m det(I_m-\frac{1}{\lambda}AB)=\lambda ^m det(I_n- \frac{1}{\lambda}BA)=\lambda ^{m-n} det(\lambda I_n- BA)$$ 故 $$\lambda ^ndet(\lambda I_m -AB) =\lambda ^m det(\lambda I_n- BA)$$ 当$\lambda = 0$时，等式显然成立.